La 1ere fois, on est toujours un peu maladroit... :-)

Pour plus de sécurité, fabrique toi 2 mors en bois tendre (peuplier, voire sapin) épousant la forme du foyer lorsque celui ci est bien à la verticale, place la pipe entourée des 2 mors, dans un étau fixé solidement sur la base de ta perceuse colonne, serre fermement mais pas trop et vérifie que ça n'a pas tendance à bouger. Règle ta fin de course de façon à ne pas risquer de creuser trop profondément le foyer puis démarre ta fraise à pleine vitesse et viens fraiser le foyer en appuyant légèrement et en faisant des montées - descentes de façon à bien éliminer le copeau au fur et à mesure. Avec cette façon de procéder ta pipe ne devrait pas bouger et la fraise ne devrait pas engager dans le bois. Le risque de se blesser est également quasi nul.
Si tu ne trouves pas de fraise de 20 mm prends une mèche plate, desssine la forme du foyer plus un demi millimètre de chaque coté (les foyers sont généralement pseudo elliptiques et légèrement coniques - fais le relevé au carton fort), reporte la forme sur la mèche à la pointe à tracer carbure et façonne là au touret à meuler en donnant un angle de coupe de 10° environ. Il est souhaitable que la forme soit bien symétrique (avec les taillants placés dans le sens de rotation); si tu ne t'en sens pas, fais un côté arrondi, légèrement en retrait avec un seul taillant de l'autre côté. Tronçonne la queue de la fraise ainsi formée de manière à ce que sa base affleure le mandrin. Pour 3 - 4 €, avec un peu de doigté tu auras une fraise parfaitement adaptée.

A regarder la photo, la brulure parait quand même assez profonde, toutefois, il va de soi qu'un petit ponçage au papier 80, pour se donner une idée de la profondeur réelle du défaut, ne peut pas faire de mal, à condition de poncer bien régulièrement de façon à éviter un foyer patatoïde.

Ensuite la méthode avec la mèche reste réalisable. Elle présente l'intérêt d'être plus "mécanique" donnant à coup sûr un état proche du neuf. Toutefois, si on a vu un peu juste, il faut refaire un outil car son diamètre est fixe. De plus elle demande un certain "professionnalisme".

C'est bien ça, bien évidemment il faut la mettre en forme et la raccourcir. Tu as certainement un bon bricoleur dans ton entourage qui dispose de l'outillage nécessaire, et pourquoi pas du savoir faire.